获奖情况：2011年度广东省科学技术奖二等奖

完成人员：黎稳， 李董辉 ， 陈小山

成果简介：

大部分科学与工程问题可以归结为数值代数问题。因此，数值代数是计算数学的一个重要研究方向。项目组成员在这一方面做了许多很好的工作。该项目主要研究矩阵计算问题的敏感性与稳定性分析、大规模结构线性方程组的数值方法、非线性方程组的数值方法等方面的内容。在矩阵计算问题的敏感性和稳定性方面研究特征值、特征空间、奇异值、奇异空间的扰动界以及向后误差分析；广义鞍点结构线性方程组的向后误差分析；广义极分解的扰动分析等。酉极因子的最优扰动界被英国皇家科学院院士N. Higham及美国数学家L. Hogben分别收入他们的专著并当作定理。首创谱分解中特征值与特征空间、奇异空间与奇异值的组合扰动界等，并被《Physical Review A》等刊物引用。在大规模结构线性方程组的数值方法方面，主要研究结构线性方程组的求解方法，特别对M-矩阵结构和鞍点结构的迭代方法方面得到许多重要的结果，主要的方法是利用结构矩阵的特点设计预处理子，这些结果被同行广泛引用。在求解非线性方程组方面， 提出了一种非单调线性搜索技巧，首次建立了求解非线性方程组拟Newton法的全局收敛性理论。该非单调线性搜索思想已被广泛采用，并被国际著名数值分析专家巴西科学学院院士M. Martinez等在计算数学国际权威刊物《Mathematics of Computation》上发表的文章中称为LF(李董辉-Fukushima)条件。提出了求解单调非线性方程组的一种BFGS算法，在不假设方程组连续可微的前提下证明了算法的全局收敛性。此外，还研究了求解半光滑方程组的拟Newton算法，证明了求解来自变分不等式和非线性互补问题等价的半光滑方程组的Broyden算法的全局收敛性。经检索该项目所发表的其中44篇论文在SCI和ISTP网络数据库中他引171次；62篇论文在中国科学引文、期刊全文、优秀(硕)博士学位论文等数据库中他引348次。